Phương trình tổng quát của mặt phẳng

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA  MẶT PHẲNG

Mặt phẳng \alpha đi qua điểm M_0({x_0 ;y_0 ;z_0 }) và nhận vectơ \overrightarrow n=({A;B;C}) làm vectơ pháp tuyến có dạng:

A\left( {x - x_0 } \right) + B\left( {y - y_0 } \right) + C\left( {z - z_0 } \right) = 0

 

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C

Phương pháp:

       + Tìm\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}

       + Tính \overrightarrow n=[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} }]=(A;B;C)

       + Vì mặt phẳng qua A( hoặc B,C) và nhận  làm VTPT có dạng: A\left( {x - x_0 } \right) + B\left( {y - y_0 } \right) + C\left( {z - z_0 } \right) = 0
Ví dụ: Viết ptmp qua A(0;1;2),B(2;3;1),C(2;2;-1)

Giải:

+ Tìm\overrightarrow {AB}=(2;2; - 1),\overrightarrow {AC}=(2;1; - 3)

+Tìm \overrightarrow n=[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} }]=(-5;4;-2)

+ Vì mặt phẳng qua A và nhận  làm VTPT có dạng

                    ĐS: 5x-4y+2z=0

Dạng 2:

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB :

Phương pháp:

Mặt phẳng(\alpha) đi qua M trung điểm AB và có vtpt\overrightarrow n=\overrightarrow {AB}

Ví dụ:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, với A(2;3;1) và B(2,-1;1)

Gợi ý:

+ Tính trung điểm của AB

+ PTMP qua trung điểm của AB và \overrightarrow n=\overrightarrow {AB}(vtpt)

Chú ý: VT của mp \overrightarrow n=\overrightarrow{AB}.

Dạng 3: Mặt phẳng (\alpha) qua M và \bot d (hoặc AB)

 Phương pháp:

            Mặt phẳng (\alpha) đi qua M\alpha\bot (d) nên vtpt \overrightarrow n=\overrightarrow a_{d}….(\overrightarrow{AB})

Ví dụ: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1;3;-2) và vuông góc với đường thẳng AB ở đây A(0;2;-3) và B(1;-4;1).

HD:

+ Ta có : \overrightarrow {AB} =(1;-6;4)

+ Lấy  lam vectơ pháp tuyến , ta được phương trình mặt phẳng cần tìm:x-6y+4z+25=0

Dạng 4: Mp( \alpha) qua M và // \beta : Ax + By + Cz + D = 0

Phương pháp:

Mặt phẳng  ( \alpha)đi qua M( \alpha)  // \betanên vtpt \overrightarrow n_\alpha=\overrightarrow n_\beta

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng :2x-y+3z+4=0

Lời giải:

Cách 1:

Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của nó phải có dạng 2x-y+3z+D=0

Mặt phẳng này đi qua điểm M(1;3;-2)  nên:

2.1-3+3(-2)+D=0 D=7

Vậy phương trình mp cần tìm là:2x-y+3z+7=0

Cách 2:

Mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 có VTPT \overrightarrow n=(2; - 1;3). Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng đã cho nên nó phải nhận vectơ \overrightarrow n=(2; - 1;3)
làm VTPT

Nó lại đi qua điểm M(1;3;-2) nên PTTQ của mp này là :

2(x-1)-(y-3)+3(z+2)=0

\Leftrightarrow2x-y+3z+7=0

Dạng 5: Mp ( \alpha)chứa (d) và song song (d/).

Phương pháp:

     + Điểm  M ( chọn điẻm  M trên (d))

     + Mp ( \alpha) chứa (d) nên\overrightarrow {a_{d} }=\overrightarrow {b_{\alpha}}  

     + Mp ( \alpha) song song (d) nên \overrightarrow {a_{d'} }=\overrightarrow {b_{\alpha}}

     + Vtpt \overrightarrow n=\left[ {\overrightarrow {a_{d} } ,\overrightarrow {a_{d'} } } \right]

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d:

 Dạng 6:  Mp ( \alpha) qua M,N và \bot \beta

Phương pháp:

      + Mp( \alpha) qua M,N nên\overrightarrow {MN}=\overrightarrow a_{\alpha}

      + Mp( \alpha) mp\bot \beta\overrightarrow n_{\beta}=\overrightarrow b_{\alpha}

      +\alphaqua M(N),vtpt\overrightarrow n=[ {\overrightarrow {MN},\overrightarrow n_\beta}]

Ví dụ: Viết phương trình mp đi qua hai điểm P(3;1;-1) ,Q(2;-1;4) và vuông góc với mp 2x-y+3z-1=0

HD:

+ Ta có\overrightarrow {PQ}=( - 1; - 2;5)
+ Mp 2x-y+3z-1=0 có VTPT\overrightarrow m=(2; - 1;3)
+ Xác định \overrightarrow n=[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow m }]=(1;-13;-5)

+ mp cần tìm : x-13y-5z+5=0

About these ads

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 25 other followers

%d bloggers like this: