Bài tập số phức

Bài tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

\frac{\left( {3 + 2i} \right)(1 - 3i)}{1+i\sqrt 3}+\left({2- i} \right)      (*)

Lời giải:

            Nhân tử và mẫu của phân thức \frac{\left({3+2i} \right)\left({1- 3i} \right)}{1+ i\sqrt 3 } với 1 - i\sqrt 3

            Khi đó (*) trở thành \frac{{\left( {3 + 2i} \right)(1 - 3i)(1 - i\sqrt 3 )}}{{(1 + i\sqrt 3 )(1 - i\sqrt 3 )}} + \left( {2 - i} \right)=\frac{{(9 - 7i)(1 - i\sqrt 3 )}}{4} + \left( {2 - i} \right)

                             = \frac{{(9 - 7\sqrt 3 ) - (7 + 9\sqrt 3 )i + 4(2 - i)}}{4}=\frac{{17 - 7\sqrt 3 }}{4} - \frac{{11 + 9\sqrt 3 }}{4}i

Chú ý:   Thông thường những dạng bài tập như trên ta thường biến đổi để ”mẫu” là một số thực.

Bài tập 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức (x \in C)

a) (3 - 5i)+\sqrt 2 x=(1 + 2i)(3 + 4i)

b) (3 - 7i)+2{\rm{ix}}=(4 - i)(5 + 2i)

c) 2ix+3=5x+4i

Lời giải:

Cách giải 1:

a) Rút gọn vế phải sau đó trừ hai vế cho (3-5i) ta được:

(3 - 5i)+\sqrt 2 x=-5 + 10i

\Leftrightarrow \sqrt 2 x=- 5 + 10i - (3 - 5i)

\Leftrightarrow \sqrt 2 x=- 8 + 15i

Nhân hai vế cho \frac{1}{{\sqrt 2 }} , ta được:

x=\frac{1}{\sqrt 2}(-8+15i)=- 2\sqrt 2+\frac{15}{\sqrt 2}i

b) Làm tương tự câu a), ta được.

2{\rm{ix}}=19 + 10i

Chú ý rằnh i^2=-1 , do đó để có được x ta nhân 2 vế với -\frac{1}{2}i, ta được:

- \frac{1}{2}i.2{\rm{ix}}=-\frac{1}{2}i(19 + 10i)

\Leftrightarrow x=5-\frac{{19}}{2}i

 Cách giải 2 câu b):

 Đặt x = a + bi, ta có:

  \Leftrightarrow (3 - 7i) + 2i(a + bi)=(4- i)(5+2i)
  \Leftrightarrow (3 - 2b) + (2a - 7)i=22 + 3i

(3-7i)+2{\rm{ix}}=(4-i)(5+2i)

Theo tính chất của 2 số phức bằng nhau ta có:

\left\{ \begin{array}{l} 3 - 2b = 22 \\ 2a - 7 = 3 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}a = 5 \\ b = \frac{{ - 19}}{2} \end{array} \right.

Vậy x = a + bi = 5 - \frac{{19}}{2}i

c) 2ix+3=5x+4i

Cách giải 1:

Chuyển vế , ta được : 3-4i=(5-2i)x

Để có được x ở vế phải, chúng ta sử dụng tính chất

               (a - bi)(a + bi)=a^{2}+b^{2}

Nhân hai vế cho 5+2i , ta được:

             (3-4i)(5+2i)=(5+2i)(5-2i)x

             \Leftrightarrow 29x=23-14i

             \Leftrightarrow x=\frac{23}{29}-\frac{14}{29}i

Cách giải 2: Đặt x = a + bi và sử dụng tính chất của 2 số phức bằng nhau để tìm

Bài tập 3:  Giải phương trình: x^2-3x+5=0

Lời giải:

Ta có  \Delta=9-20=-11=11i^2 

             Phương trình có hai nghiệm phức

                            x_1=\frac{3 - i\sqrt {11} }{2}=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt {11}}{2}i; x_2=\frac{3+i\sqrt {11}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt {11}}{2}i

Bài tập 4: Tìm căn bậc hai của số phức 3+4i

Lời giải:

Gọi số phức a+bi (nếu có ) là căn bậc hai của 3-4i, khi đó ta có

                                 (a+bi)^2=3-4i

        \Leftrightarrow a^2+2abi+(bi)^2=3-4i
        \Leftrightarrow a^{2}-b^{2}+2abi=3-4i

Từ đẳng thức trên suy ra hệ phương trình

        \left\{ \begin{array}{l} a^{2}-b^{2}=3 \\ 2ab=-4 \end{array}\right.

        \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{-2}{b} \\ (\frac{-2}{b})^2-b^2=3 \end{array} \right.

Giải hệ ta được:  \left\{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b=1 \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-1 \end{array} \right.

          Vậy có hai căn bậc hai của số phức 3-4i là : -2+i2-i

Bài tập 5: Giải phương trình sau trên tập số phức.

z^2-\sqrt {3} z+ i=0

Lời giải:

  • Ta có : \Delta=3-4i
  • Tìm căn bậc hai của 3-4i

Gọi số phức a+bi (nếu có ) là căn bậc hai của 3-4i, khi đó ta có

                   (a+bi)^2=3-4i

       \Leftrightarrow a^2+2abi+(bi)^2=3-4i
      \Leftrightarrow a^{2}-b^{2}+2abi=3-4i

Từ đẳng thức trên suy ra hệ phương trình

          \left\{ \begin{array}{l} a^{2}-b^{2}=3 \\ 2ab=-4 \end{array}\right.

          \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{-2}{b} \\ (\frac{-2}{b})^2-b^2=3 \end{array} \right.

Giải hệ ta được:  \left\{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b=1 \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-1 \end{array} \right.

Có  hai căn bậc hai của số phức 3-4i là : -2+i2-i

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x=\frac{\sqrt{3}\pm(-2+i)}{2}

About these ads

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 25 other followers

%d bloggers like this: