Bài tập số phức

Posted on Tháng Ba 16, 2009 by admin

Bài tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

$\frac{\left( {3 + 2i} \right)(1 - 3i)}{1+i\sqrt 3}+\left({2- i} \right)$ (*)

Lời giải:

Nhân tử và mẫu của phân thức $\frac{\left({3+2i} \right)\left({1- 3i} \right)}{1+ i\sqrt 3 }$ với $1 - i\sqrt 3$

Khi đó (*) trở thành $\frac{{\left( {3 + 2i} \right)(1 - 3i)(1 - i\sqrt 3 )}}{{(1 + i\sqrt 3 )(1 - i\sqrt 3 )}} + \left( {2 - i} \right)$ = $\frac{{(9 - 7i)(1 - i\sqrt 3 )}}{4} + \left( {2 - i} \right)$

$= \frac{{(9 - 7\sqrt 3 ) - (7 + 9\sqrt 3 )i + 4(2 - i)}}{4}$ $=\frac{{17 - 7\sqrt 3 }}{4} - \frac{{11 + 9\sqrt 3 }}{4}i$

Chú ý: Thông thường những dạng bài tập như trên ta thường biến đổi để ”mẫu” là một số thực.

Bài tập 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức ( $x \in C$ )

a) $(3 - 5i)+\sqrt 2 x=(1 + 2i)(3 + 4i)$

b) $(3 - 7i)+2{\rm{ix}}=(4 - i)(5 + 2i)$

c) $2ix+3=5x+4i$

Lời giải:

Cách giải 1:

a) Rút gọn vế phải sau đó trừ hai vế cho (3-5i) ta được:

$(3 - 5i)+\sqrt 2 x=-5 + 10i$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt 2 x=- 5 + 10i - (3 - 5i)$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt 2 x=- 8 + 15i$

Nhân hai vế cho $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$ , ta được:

$x=\frac{1}{\sqrt 2}(-8+15i)=- 2\sqrt 2+\frac{15}{\sqrt 2}i$

b) Làm tương tự câu a), ta được.

$2{\rm{ix}}=19 + 10i$

Chú ý rằnh $i^2=-1$ , do đó để có được $x$ ta nhân $2$ vế với $-\frac{1}{2}i$ , ta được:

$- \frac{1}{2}i.2{\rm{ix}}$ = $-\frac{1}{2}i(19 + 10i)$

$\Leftrightarrow$ $x$ = $5-\frac{{19}}{2}i$

Cách giải 2 câu b):

Đặt $x = a + bi$ , ta có:

$\Leftrightarrow$ $(3 - 7i) + 2i(a + bi)$ = $(4- i)(5+2i)$
$\Leftrightarrow$ $(3 - 2b) + (2a - 7)i$ = $22 + 3i$

$(3-7i)+2{\rm{ix}}=(4-i)(5+2i)$

Theo tính chất của 2 số phức bằng nhau ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} 3 - 2b = 22 \\ 2a - 7 = 3 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}a = 5 \\ b = \frac{{ - 19}}{2} \end{array} \right.$

Vậy $x = a + bi = 5 - \frac{{19}}{2}i$

c) $2ix+3=5x+4i$

Cách giải 1:

Chuyển vế , ta được : $3-4i=(5-2i)x$

Để có được $x$ ở vế phải, chúng ta sử dụng tính chất

$(a - bi)(a + bi)$ = $a^{2}+b^{2}$

Nhân hai vế cho $5+2i$ , ta được:

$(3-4i)(5+2i)=(5+2i)(5-2i)x$

$\Leftrightarrow$ $29x=23-14i$

$\Leftrightarrow$ $x=\frac{23}{29}-\frac{14}{29}i$

Cách giải 2: Đặt $x = a + bi$ và sử dụng tính chất của 2 số phức bằng nhau để tìm

Bài tập 3: Giải phương trình: $x^2-3x+5=0$

Lời giải:

Ta có $\Delta=9-20=-11=11i^2$

Phương trình có hai nghiệm phức

$x_1=\frac{3 - i\sqrt {11} }{2}=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt {11}}{2}i$ ; $x_2=\frac{3+i\sqrt {11}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt {11}}{2}i$

Bài tập 4: Tìm căn bậc hai của số phức $3+4i$

Lời giải:

Gọi số phức $a+bi$ (nếu có ) là căn bậc hai của $3-4i$ , khi đó ta có

$(a+bi)^2=3-4i$

$\Leftrightarrow a^2+2abi+(bi)^2=3-4i$
$\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}+2abi=3-4i$

Từ đẳng thức trên suy ra hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} a^{2}-b^{2}=3 \\ 2ab=-4 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} a=\frac{-2}{b} \\ (\frac{-2}{b})^2-b^2=3 \end{array} \right.$

Giải hệ ta được: $\left\{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b=1 \end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-1 \end{array} \right.$

Vậy có hai căn bậc hai của số phức $3-4i$ là : $-2+i$ và $2-i$

Bài tập 5: Giải phương trình sau trên tập số phức.

$z^2-\sqrt {3} z+ i=0$

Lời giải:

Ta có : $\Delta=3-4i$
Tìm căn bậc hai của $3-4i$

Gọi số phức $a+bi$ (nếu có ) là căn bậc hai của $3-4i$ , khi đó ta có

$(a+bi)^2=3-4i$

$\Leftrightarrow a^2+2abi+(bi)^2=3-4i$
$\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}+2abi=3-4i$

Từ đẳng thức trên suy ra hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} a^{2}-b^{2}=3 \\ 2ab=-4 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} a=\frac{-2}{b} \\ (\frac{-2}{b})^2-b^2=3 \end{array} \right.$

Giải hệ ta được: $\left\{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b=1 \end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-1 \end{array} \right.$

Có hai căn bậc hai của số phức $3-4i$ là : $-2+i$ và $2-i$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm $x=\frac{\sqrt{3}\pm(-2+i)}{2}$

Like this:

Be the first to like this post.

Filed under: Số phức, Toán 12

« Phương trình đường thẳng trong không gian Ứng dụng định nghĩa đạo hàm vào tính giới hạn »

T2	T3	T4	T5	T6	T7	CN
« Tháng 2				Tháng 4 »
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

	admin on Giới thiệu
	admin on Tọa độ vectơ
	Hieu Tran on Tọa độ vectơ
	Hieu Tran on Phương trình đường thẳng trong…
	admin on Phương trình đường thẳng trong…
	Hieu Tran on Phương trình đường thẳng trong…
	admin on Phương trình đường thẳng trong…
	Hieu Tran on Phương trình đường thẳng trong…
	admin on Ứng dụng các tính chất của hàm…
	trinh on Phương trình đường tròn
	anh hai on Ứng dụng các tính chất của hàm…
	Tea Mee on Giới thiệu
	Tung on Pt-Bpt mũ-lôgarit
	demlanh on Pt-Bpt mũ-lôgarit
	nina on 17 Đề thi thử tốt nghiệp THPT …

Blogmath’s-Toán THPT

Nội dung chính

Bài viết

Bài viết mới

Số người TC

Đang online

Bộ đếm Blog

Visitors

Học thi

Tin mới-Vietnamnet