Một số dạng toán tính đạo hàm

Posted on Tháng Ba 19, 2009 by admin

 Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số :

f(x)=\left\{\begin{array}{l} f_1(x)khix<x_0 \\ f_2(x)khix\ge x_0 \end{array}\right.

Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm x_0, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1:  Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x_0

Bước 2:  Tính (Đạo hàm bên trái):

f'(x_0^-)=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^-}\frac{f(x) - f(x_0 )}{x-x_0}

Bước 3:  Tính (Đạo hàm bên phải):

 f'(x_0^+)=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Bước 4:  Đánh giá  hoặc giải f'(x_0^-)=f'(x_0^+), từ đó đưa ra kết luận.

Ví dụ: Cho hàm số : f(x)=\left\{\begin{array}{l} (x+2)^2khi x \le 0 \\ x^2+4 khi x>0 \end{array}\right.
                           Tính đạo hàm của hàm số tại x_0=0

Lời giải:

  • Ta có : \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} (x +2)^2=4

                            \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} x^2+4=4

                           f(0) =4

           Do đó: \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x)=f(0)

           Vậy hàm số liên tục tại x=0

  • Đạo hàm bên trái của hàm số y=f(x) tại điểm x=0

                           f'(0^-)=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^-}\frac{f(x) - f(0 )}{x-0}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{(x + 2)^2-2}{x - 2}=-1

  • Đạo hàm bên phải của hàm số y=f(x) tại điểm x=0

                          f'(0^+)=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^+}\frac{f(x) - f(0)}{x-0}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{x^2+4- 4}{x-2}=0

        Nhận xét :  f'(0^-) \ne f'(0^+) nên hàm số không có đạo hàm tại x=0

  • Kết luận: Hàm số có đạo hàm bên trái, bên phải , nhưng khong có đạo hàm tại x=0.

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng ( dùng định nghĩa).

            Để tính đạo hàm của hàm số : y=f(x)  trên một khoảng  (a;b), bằng định nghiã , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giả sử \Delta x là số gia của đối số tại x_0, tính

\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)

Bước 2: Lập tỉ số : \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}

Bước 3: Tìm \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}

Chú ý : Nếu khoảng (a;b) bằng đoạn [a;b], ta thực hiện theo các bước sau:

             Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b).

             Bước 2: Tính đạo hàm bên phải của hàm số y=f(x) tại điểm a

        \Delta y = f(x+\Delta x) - f(x )=\frac{{x + \Delta x + 1}}{{x + \Delta x}} - \frac{{x + 1}}{x}=- \frac{{\Delta x}}{{x(x + \Delta x)}}

             Bước 3: Tính đạo hàm bên trái của hàm số y=f(x) tại điểm b

Ví dụ: Dùng định nghĩa , tính đạo hàm của hàm số sau: f(x)=\frac{x+1}{x}

Lời giải:

 Giả sử \Delta x là số gia của đối số tại x, tính 
        \frac{\Delta y}{\Delta x}=- \frac{{\Delta x}}{{x(x + \Delta x)\Delta x}}=- \frac{1}{{x(x + \Delta x)}}

Do đó: \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x \to 0}-\frac{1}{x(x + \Delta x)}=- \frac{1}{x^2}

   Vậy hàm số có đạo hàm f'(x)=-\frac{1}{x^2}

 

Chú ý: Ta có thể nói hàm số f(x)=\frac{x + 1}{x} có đạo hàm f'(x)=-\frac{1}{x^2} trên các khoảng (-\infty ;0) và (0;+\infty).

Filed under: Toán 11, Đs&Gt 11

« »

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Thay đổi )

Hủy bỏ

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.