Một số dạng toán về mặt phẳng & đường thẳng

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \Delta

Phương pháp :

Xác định một điểm cố định M_0 (x_0 ;y_0 ;z_0 ) \in \Delta

Xác định một vectơ chỉ phương \overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3) của \Delta.

Phương trình tham số và phương trình chính tắc của \Delta lần lượt có dạng

\Delta: \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+a_1 t \\ y=y_0+a_2t \\ z=z_0+a_3t \end{array} \right.

 \Delta: \frac{{x - x_0 }}{{a_1 }}=\frac{{y - y_0 }}{{a_2 }} = \frac{{z - z_0 }}{{a_3 }} nếu a_1;a_2;a_3 đều \ne 0

Ví dụ : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \Delta đi qua hai điêm A(1;2;3 và B(4;5;6)

Lời giải:

\Delta đi qua hai điểm A(1;2;3 và B(4;5;6) nên có vectơ chỉ phương \overrightarrow {AB}=(3;3;3)

Vậy phương trình tham số của \Delta là: \left\{ \begin{array}{l} x=1+3t \\ y=2+3t \\ z=3+3t \end{array}\right.

Vậy phương trình chính tắc của \Delta là: \frac{x - 1}{3}=\frac{y - 2}{3}=\frac{z - 3}{3}

Dạng 2:    Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \Delta và \Delta' trong không gian.

Phương pháp :

Xác định điểm cố định M_0 (x_0 ;y_0 ;z_0 ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3) của \Delta.Xác định điểm cố định M_0 (x'_0 ;y'_0 ;z'_0) và vectơ chỉ phương \overrightarrow a'=(a'_1;a'_2;a'_3) của \Delta'.

Tính \overrightarrow n=[\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'}].

Dùng các dấu hiệu sau để xét vị trí tương đối giữa \Delta\Delta'.

\Delta //\Delta' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}=\overrightarrow{0} \\ M_{0}\notin \Delta' \end{array}\right.

\Delta \equiv \Delta' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}=\overrightarrow{0} \\ M_{0}\in \Delta' \end{array}\right.

\Delta cắt \Delta' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{n}\overrightarrow{M_0M_0'}=0 \\ \end{array}\right.

\Delta và  \Delta' chéo nhau \Leftrightarrow \overrightarrow n.\overrightarrow{M_0 M_0 '}\ne 0

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng \Delta là: \frac{x - 1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z - 5}{1} với đường thẳng

                 d : \left\{\begin{array}{l} x=3+4t \\ y=2+3t \\ z=6+5t \end{array}\right.

Lời giải:

Ta có đường thẳng \Delta đi qua điểm M_0(1; - 2;5) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow a=(2;3;1)
d đi qua M(3;2;6) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow a=(4;3;5)

Ta có : \overrightarrow n=[\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'}]=(12;-6;-6)\ne \overrightarrow 0.

\overrightarrow{M_0M}=(2;4;1)

\overrightarrow {n.} \overrightarrow{M_0 M}=24-24-6=-6

Vậy \Deltad chéo nhau.

Các em có thể lấy ví dụ về các trường hợp còn lại

Dạng 3:   Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp :

Cho đường thẳng d đi qua điểm M_0(x_0 ;y_0 ;z_0 ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3), cho mặt phẳng ( \alpha) có phương trình tổng quát Ax+By+Cz+D=0.

Gọi \overrightarrow n=(A;B;C) là VTPT của (\alpha) .

Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (\alpha) ta có các cách sau:

Cách 1: Xét tích vô hướng \overrightarrow n.\overrightarrow a và thay tọa độ của điểm M_0 vào phương trình của ( \alpha) để kiểm tra , ta có các trường hợp sau:

  • \left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0 \\ M_{0}\notin (\alpha) \end{array}\right. \Leftrightarrow d song song với ( \alpha).
  • \left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0 \\ M_{0} \in (\alpha) \end{array}\right. \Leftrightarrow d nằm trong ( \alpha).
  • \overrightarrow n.\overrightarrow a\ne 0 d cắt (\alpha).
  • \overrightarrow n=k\overrightarrow a \Leftrightarrow d vuông góc với (\alpha).

Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d: \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+a_1 t \\ y=y_0+a_2t \\ z=z_0+a_3t \end{array} \right.

Sau đó thay x,y,z ở  phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng ( \alpha): Ax+By+Cz+D=0 ta được:

A(x_0+a_1 t)+B(y_0+a_2t)+C(z_0+a_3t)+D=0 hay mt+n=0 (1)

Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau.

  • (1) vô nghiệm \Leftrightarrow d song song với ( \alpha).
  • (1) có mộy nghiệm t=t_0 \Leftrightarrow d cắt ( \alpha) tại điểm M_0(x_0+a_1 t;y_0+a_2t;z_0+a_3t)
  • (1) có vô số nghiệm \Leftrightarrow d nằm trong ( \alpha).
  • (1) (A;B;C)=k(a_1;a_2;a_3) \Leftrightarrow d vuông góc với ( \alpha).

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng \Delta là: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-5}{1} với mặt phẳng ( \alpha): x-y+2z+5=0

Lời giải:

Chuyển phương trình chính tắc của \Delta về phương trình tham số

\Delta : \left\{ \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=-2+3t \\ x=5+t \end{array} \right.

Sau đó thay x,y,z ở  phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng ( \alpha): 1+2t-(-2+3t)+2(5+t)+5=0  (1)

\Leftrightarrow t=-18

Phương trình (1) có một nghiệm t=-18, vậy \Delta cắt ( \alpha) tại điểm M_0(-35;-56;-13)

Dạng 4:  Tìm hình chiếu.

Bài toán 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng (d).

Phương pháp:

Cách 1: (d) cho bởi phương trình tham số

  • H \in (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộcvào tham số t
  • Tìm tham số t nhờ điều kiện \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow a_{d}

Cách 2: (d) cho bởi phương trình chính tắc , gọi H(x;y;z)

  • \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow a_{d} (*)
  • H \in (d): Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x;y;z

Bài toán 2:  Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trênặmt phẳng  ( \alpha).

Cách 1: Gọi H(x;y;z)

  • H \in (\alpha) (*)
  • \overrightarrow {AH} cùng phương với \overrightarrow {n_\alpha}: Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*) ,từ đó tìm được x;y;z.

Cách 2:

  • Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( \alpha).
  • Giao điểm của (d)( \alpha) chính là hình chiếu H của A trên mặt phẳng ( \alpha).

Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc (\Delta) của đường thẳng (d) xuống mặt phẳng ( \alpha).

  • Tìm phương trình mặt phẳng (\beta) chứa đường thẳng d và vuông óc với mặt phẳng ( \alpha).
  • Hình chiếu (\Delta) của (d) xuống mặt phẳng ( \alpha) chính là giao tuyến của ( \alpha)(\beta).
About these ads

3 phản hồi

  1. thầy ở, bây giờ cho một mặt phẳn và 2 điêm A,B.

    Hỏi, tìm M thuộc P sao cho MA^2 + MB^2 nhỏ nhất thì phải làm sao thầy

  2. cụ thể:

    mp(P): x+y+z = 0
    A(-3,5,-5), B(5,-3,7)

    Mong thầy giúp hộ

  3. cam on thay nhieu.
    nhung bai thay viet rat hay va thiet thuc, de hieu

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 31 other followers

%d bloggers like this: