Một số dạng toán về mặt phẳng & đường thẳng

Posted on Tháng Ba 23, 2009 by admin

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$

Phương pháp :

Xác định một điểm cố định $M_0 (x_0 ;y_0 ;z_0 )$ $\in$ $\Delta$

Xác định một vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3)$ của $\Delta$ .

Phương trình tham số và phương trình chính tắc của $\Delta$ lần lượt có dạng

$\Delta$ : $\left\{ \begin{array}{l} x=x_0+a_1 t \\ y=y_0+a_2t \\ z=z_0+a_3t \end{array} \right.$

$\Delta$ : $\frac{{x - x_0 }}{{a_1 }}=\frac{{y - y_0 }}{{a_2 }} = \frac{{z - z_0 }}{{a_3 }}$ nếu $a_1;a_2;a_3$ đều $\ne 0$

Ví dụ : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điêm $A(1;2;3$ và $B(4;5;6)$

Lời giải:

$\Delta$ đi qua hai điểm $A(1;2;3$ và $B(4;5;6)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB}=(3;3;3)$

Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=1+3t \\ y=2+3t \\ z=3+3t \end{array}\right.$

Vậy phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{3}=\frac{y - 2}{3}=\frac{z - 3}{3}$

Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ trong không gian.

Phương pháp :

Xác định điểm cố định $M_0 (x_0 ;y_0 ;z_0 )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3)$ của $\Delta$ .Xác định điểm cố định $M_0 (x'_0 ;y'_0 ;z'_0)$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow a'=(a'_1;a'_2;a'_3)$ của $\Delta'$ .

Tính $\overrightarrow n=[\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'}]$ .

Dùng các dấu hiệu sau để xét vị trí tương đối giữa $\Delta$ và $\Delta'$ .

$\Delta$ // $\Delta'$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}=\overrightarrow{0} \\ M_{0}\notin \Delta' \end{array}\right.$

$\Delta$ $\equiv$ $\Delta'$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}=\overrightarrow{0} \\ M_{0}\in \Delta' \end{array}\right.$

$\Delta$ cắt $\Delta'$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{n}\overrightarrow{M_0M_0'}=0 \\ \end{array}\right.$

$\Delta$ và $\Delta'$ chéo nhau $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow n.\overrightarrow{M_0 M_0 '}\ne 0$

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z - 5}{1}$ với đường thẳng

$d$ : $\left\{\begin{array}{l} x=3+4t \\ y=2+3t \\ z=6+5t \end{array}\right.$

Lời giải:

Ta có đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(1; - 2;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(2;3;1)$
$d$ đi qua $M(3;2;6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(4;3;5)$

Ta có : $\overrightarrow n=[\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'}]=(12;-6;-6)$ $\ne \overrightarrow 0$ .

$\overrightarrow{M_0M}=(2;4;1)$

$\overrightarrow {n.} \overrightarrow{M_0 M}=24-24-6=-6$

Vậy $\Delta$ và $d$ chéo nhau.

Các em có thể lấy ví dụ về các trường hợp còn lại

Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp :

Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0 ;y_0 ;z_0 )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3)$ , cho mặt phẳng $( \alpha)$ có phương trình tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$ .

Gọi $\overrightarrow n=(A;B;C)$ là VTPT của $(\alpha)$ .

Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ ta có các cách sau:

Cách 1: Xét tích vô hướng $\overrightarrow n.\overrightarrow a$ và thay tọa độ của điểm $M_0$ vào phương trình của $( \alpha)$ để kiểm tra , ta có các trường hợp sau:

$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0 \\ M_{0}\notin (\alpha) \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $d$ song song với $( \alpha)$ .

$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0 \\ M_{0} \in (\alpha) \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $d$ nằm trong $( \alpha)$ .

$\overrightarrow n.\overrightarrow a\ne 0$ $d$ cắt $(\alpha)$ .

$\overrightarrow n=k\overrightarrow a$ $\Leftrightarrow$ $d$ vuông góc với $(\alpha)$ .

Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ : $\left\{ \begin{array}{l} x=x_0+a_1 t \\ y=y_0+a_2t \\ z=z_0+a_3t \end{array} \right.$

Sau đó thay $x,y,z$ ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng $( \alpha)$ : $Ax+By+Cz+D=0$ ta được:

$A(x_0+a_1 t)+B(y_0+a_2t)+C(z_0+a_3t)+D=0$ hay $mt+n=0$ (1)

Xét số nghiệm $t$ của phương trình (1) ta có các trường hợp sau.

$(1)$ vô nghiệm $\Leftrightarrow$ $d$ song song với $( \alpha)$ .

$(1)$ có mộy nghiệm $t=t_0$ $\Leftrightarrow$ $d$ cắt $( \alpha)$ tại điểm $M_0(x_0+a_1 t;y_0+a_2t;z_0+a_3t)$

$(1)$ có vô số nghiệm $\Leftrightarrow$ $d$ nằm trong $( \alpha)$ .

$(1)$ $(A;B;C)=k(a_1;a_2;a_3)$ $\Leftrightarrow$ $d$ vuông góc với $( \alpha)$ .

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-5}{1}$ với mặt phẳng $( \alpha)$ : $x-y+2z+5=0$

Lời giải:

Chuyển phương trình chính tắc của $\Delta$ về phương trình tham số

$\Delta$ : $\left\{ \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=-2+3t \\ x=5+t \end{array} \right.$

Sau đó thay $x,y,z$ ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng $( \alpha)$ : $1+2t-(-2+3t)+2(5+t)+5=0$ $(1)$

$\Leftrightarrow$ $t=-18$

Phương trình $(1)$ có một nghiệm $t=-18$ , vậy $\Delta$ cắt $( \alpha)$ tại điểm $M_0(-35;-56;-13)$

Dạng 4: Tìm hình chiếu.

Bài toán 1: Tìm hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $A$ trên đường thẳng $(d)$ .

Phương pháp:

Cách 1: $(d)$ cho bởi phương trình tham số

$H \in (d)$ suy ra dạng tọa độ của điểm $H$ phụ thuộcvào tham số $t$

Tìm tham số $t$ nhờ điều kiện $\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow a_{d}$

Cách 2: $(d)$ cho bởi phương trình chính tắc , gọi $H(x;y;z)$

$\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow a_{d}$ (*)

$H \in (d)$ : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được $x;y;z$

Bài toán 2: Tìm hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $A$ trênặmt phẳng $( \alpha)$ .

Cách 1: Gọi $H(x;y;z)$

$H \in (\alpha)$ (*)

$\overrightarrow {AH}$ cùng phương với $\overrightarrow {n_\alpha}$ : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*) ,từ đó tìm được $x;y;z$ .

Cách 2:

Tìm phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $( \alpha)$ .

Giao điểm của $(d)$ và $( \alpha)$ chính là hình chiếu $H$ của $A$ trên mặt phẳng $( \alpha)$ .

Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc $(\Delta)$ của đường thẳng $(d)$ xuống mặt phẳng $( \alpha)$ .

Tìm phương trình mặt phẳng $(\beta)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông óc với mặt phẳng $( \alpha)$ .

Hình chiếu $(\Delta)$ của $(d)$ xuống mặt phẳng $( \alpha)$ chính là giao tuyến của $( \alpha)$ và $(\beta)$ .

Like this:

Be the first to like this post.

Filed under: Ôn thi TNPT, Dạng toán về ĐT và MP trong không gian, Toán 12

« Một số dạng toán tính đạo hàm Ứng dụng các tính chất của hàm số vào bài toán giải phương trình và bất phương trình. »

trần mạnh tùng, on Tháng Năm 6, 2009 at 9:53 sáng said:

thầy ở, bây giờ cho một mặt phẳn và 2 điêm A,B.

Hỏi, tìm M thuộc P sao cho MA^2 + MB^2 nhỏ nhất thì phải làm sao thầy

trần mạnh tùng, on Tháng Năm 6, 2009 at 10:02 sáng said:

cụ thể:

mp(P): x+y+z = 0
A(-3,5,-5), B(5,-3,7)

Mong thầy giúp hộ

vo thach hong lien, on Tháng Năm 6, 2009 at 4:45 chiều said:

cam on thay nhieu.
nhung bai thay viet rat hay va thiet thuc, de hieu

T2	T3	T4	T5	T6	T7	CN
« Tháng 2				Tháng 4 »
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

	admin on Giới thiệu
	admin on Tọa độ vectơ
	Hieu Tran on Tọa độ vectơ
	Hieu Tran on Phương trình đường thẳng trong…
	admin on Phương trình đường thẳng trong…
	Hieu Tran on Phương trình đường thẳng trong…
	admin on Phương trình đường thẳng trong…
	Hieu Tran on Phương trình đường thẳng trong…
	admin on Ứng dụng các tính chất của hàm…
	trinh on Phương trình đường tròn
	anh hai on Ứng dụng các tính chất của hàm…
	Tea Mee on Giới thiệu
	Tung on Pt-Bpt mũ-lôgarit
	demlanh on Pt-Bpt mũ-lôgarit
	nina on 17 Đề thi thử tốt nghiệp THPT …

Blogmath’s-Toán THPT

Nội dung chính

Bài viết

Bài viết mới

Số người TC

Đang online

Bộ đếm Blog

Visitors

Học thi

Tin mới-Vietnamnet