Ứng dụng các tính chất của hàm số vào bài toán giải phương trình và bất phương trình.

Ứng dụng các tính chất của hàm số vào bài toán giải phương trình, bất phương trình

Nhằm giúp các bạn học sinh có thêm sự lựa chọn công cụ trong việc giải tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình, hệ phương trình … Tôi xin trình bày một số ví dụ về bài toán giải phương trình, bất phương trình… bằng cách sử dụng các tính chất của hàm số.

Bài toán 1: Giải phương trình:

Hướng dẫn:

Do nên chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình tương đương :

Xét hàm số :

Ta có hàm số là hàm số giảm , do vậy phương trình có nhiều nhất là một nghiệm

Mặt khác ta có : suy ra là một nghiệm của phương trình

Từ kết quả trên ta kết luận phương trình có nghiệm

Chú ý:

Tính chất của hàm số được dùng trong bài toán như  sau : Nếu hàm số luôn tăng (hoặc luôn giảm ) thì đồ thị của hàm số cắt đường thẳng nhiều nhất là một điểm ( Nếu hàm số  đơn điệu thay đổi , thì lý luân trên không còn hiệu lực nữa).

Phương pháp vận dụng bài toán trên:

Để giải phương trình: bằng cách vận dụng tính chất trên, ta tiến hành như sau

Biến đổi tương đương phương trình về dạng: ( là hằng số)

Xét tính đơn điệu của hàm số

Nếu : Hàm số luôn tăng (hoặc luôn giảm) thì kết luận phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, kế đó bạn chịu khó dò tìm được nghiệm của phương trình để kết luận về nghiệm của bài toán

Nếu : Hàm số có tính đơn điệu thay đổi, thì cách lý luận trên không còn hiệu lực, bạn chịu khó đổi qua cách lý luận khác

Bài tập luyện tập

Giải các phương trình sau:

a)

b)