Bài giải:

Tải về:

Thí dụ: Cho hai điểm và mặt phẳng . Tìm điểm sao cho là nhỏ nhất.

Hướng dẩn giải:

Đặt .

Ta có

Vậy về cùng một phía của

Gọi là điểm đối xứng của qua

Nối , Ta có

Khi đó dễ chứng minh chính là điểm cần tìm( Bài toán cơ bản của phép tính đối xứng qua mặt phẳng )

Gọi là hình chiếu của trên

Đường thẳng có dạng

Gọi

Ta có phương trình sau để xác định t (dựa vào :

Vậy . Do là trung điểm của , nên có ngay .

Ta có cùng phương với vectơ

Vậy có dạng

Giả sử , khi đó ta có phương trình sau để xác định t’(dựa vào :

Vậy là điểm cần tìm

Chú ý: Nếu ở hai phía của , thì nếu gọi , Thì chính là điểm cần tìm.

Tải về:

Thì dùng biệt số

• : Phương trình có 3 nghiệm đơn
• hương trình có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép
• : Phương trình có 1 nghiệm đơn
• Nếu phương trình bậc 3 có dạng

   (I)

Thì thường dò tìm 1 nghiệm của phương trình rồi dùng phép chia đa thức để biến đổi:

                             (I)

và biện luận phương trình (II) để có kết quả

Chú ý:

• (I) có thì có một nghiệm là
• (I) có thì có một nghiệm là
• (I) có nghiệm kép có nghiêm kép hoặc (II) có nghiệm

Tải về :

Muốn chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng .

Ví dụ: Cho hình chóp có và đáy là tam giác có trọng tâm . Chứng minh

Hướng dẫn giải:

 Bước 1: Vẽ ,

 Bước 2: Xét các tam giác vuông ở :  

• chung
• 

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Bước 3: Tam giác là tam giác đều nên trọng tâm truùngvới tâm đường tròn ngoại tiếp ngiã là . Vậy (đpcm)

Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Phương pháp:

• Tìm giao điểm của và .
• Lấy và xác định hình chiếu (vuông góc ) của lên mp

Vậy góc giữa và mp là

Chú ý:

• Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng thì cạnh huyền bằng
• Tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng thì cạnh góc vuông bằng
• Hình vuông có cạnh bằng thì đường chéo bằng
• Hình vuông có đường chéo bằng thì cạnh bằng

Ví dụ: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và . Biết .

Tính góc giữa và .

 Hướng dẫn giải:

•   Vì AC là hình chiếu (vuông góc) của lên nên góc giữa và là
• Tam giác vuông tại . ta có :

                       ===                       

Nhằm giúp các bạn học sinh có thêm sự lựa chọn công cụ trong việc giải tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình, hệ phương trình … Tôi xin trình bày một số ví dụ về bài toán giải phương trình, bất phương trình… bằng cách sử dụng các tính chất của hàm số.

Bài toán 1: Giải phương trình:

Hướng dẫn:

Do nên chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình tương đương :

Xét hàm số :

Ta có hàm số là hàm số giảm , do vậy phương trình có nhiều nhất là một nghiệm

Mặt khác ta có : suy ra là một nghiệm của phương trình

Từ kết quả trên ta kết luận phương trình có nghiệm

Chú ý:

Tính chất của hàm số được dùng trong bài toán như  sau : Nếu hàm số luôn tăng (hoặc luôn giảm ) thì đồ thị của hàm số cắt đường thẳng nhiều nhất là một điểm ( Nếu hàm số  đơn điệu thay đổi , thì lý luân trên không còn hiệu lực nữa).

Phương pháp vận dụng bài toán trên:

Để giải phương trình: bằng cách vận dụng tính chất trên, ta tiến hành như sau

Biến đổi tương đương phương trình về dạng: ( là hằng số)

Xét tính đơn điệu của hàm số

Nếu : Hàm số luôn tăng (hoặc luôn giảm) thì kết luận phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, kế đó bạn chịu khó dò tìm được nghiệm của phương trình để kết luận về nghiệm của bài toán

Nếu : Hàm số có tính đơn điệu thay đổi, thì cách lý luận trên không còn hiệu lực, bạn chịu khó đổi qua cách lý luận khác

Bài tập luyện tập

Giải các phương trình sau:

a)

b)

Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương pháp :

Xác định một điểm cố định

Xác định một vectơ chỉ phương  của .

Phương trình tham số và phương trình chính tắc của lần lượt có dạng

:

 : nếu đều 

Ví dụ : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua hai điêm và 

Lời giải:

 đi qua hai điểm và  nên có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của là:

Vậy phương trình chính tắc của là:

Dạng 2:    Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng  và trong không gian.

Phương pháp :

Xác định điểm cố định và vectơ chỉ phương của .Xác định điểm cố định và vectơ chỉ phương của .

Tính .

Dùng các dấu hiệu sau để xét vị trí tương đối giữa và .

//

cắt

 và   chéo nhau

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng là: với đường thẳng

                 :

Lời giải:

Ta có đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương
đi qua và có vectơ chỉ phương

Ta có : .

Vậy và chéo nhau.

Các em có thể lấy ví dụ về các trường hợp còn lại

Dạng 3:   Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp :

Cho đường thẳng đi qua điểm và vectơ chỉ phương , cho mặt phẳng có phương trình tổng quát .

Gọi là VTPT của .

Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng ta có các cách sau:

Cách 1: Xét tích vô hướng và thay tọa độ của điểm vào phương trình của để kiểm tra , ta có các trường hợp sau:

• song song với .
•   nằm trong .
• cắt .
•  vuông góc với .

Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng :

Sau đó thay  ở  phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng : ta được:

hay (1)

Xét số nghiệm của phương trình (1) ta có các trường hợp sau.

• vô nghiệm song song với .
• có mộy nghiệm cắt tại điểm
• có vô số nghiệm  nằm trong .
•  vuông góc với .

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng là: với mặt phẳng :

Lời giải:

Chuyển phương trình chính tắc của về phương trình tham số

:

Sau đó thay  ở  phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng :  

Phương trình có một nghiệm , vậy cắt tại điểm

Dạng 4:  Tìm hình chiếu.

Bài toán 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng .

Phương pháp:

Cách 1: cho bởi phương trình tham số

• suy ra dạng tọa độ của điểm phụ thuộcvào tham số
• Tìm tham số nhờ điều kiện

Cách 2: cho bởi phương trình chính tắc , gọi

• (*)
• : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được

Bài toán 2:  Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trênặmt phẳng  .

Cách 1: Gọi

• (*)
• cùng phương với : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*) ,từ đó tìm được .

Cách 2:

• Tìm phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng .
• Giao điểm của và chính là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng xuống mặt phẳng .

• Tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông óc với mặt phẳng .
• Hình chiếu của xuống mặt phẳng chính là giao tuyến của và .

Cho hàm số :

Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1:  Xét tính liên tục của hàm số tại điểm

Bước 2:  Tính (Đạo hàm bên trái):

Bước 3:  Tính (Đạo hàm bên phải):

 

Bước 4:  Đánh giá  hoặc giải , từ đó đưa ra kết luận.

Ví dụ: Cho hàm số :
                           Tính đạo hàm của hàm số tại

Lời giải:

• Ta có :

           Do đó:

           Vậy hàm số liên tục tại x=0

• Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm

                           =

• Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm

                          =

        Nhận xét :   nên hàm số không có đạo hàm tại x=0

• Kết luận: Hàm số có đạo hàm bên trái, bên phải , nhưng khong có đạo hàm tại x=0.

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng ( dùng định nghĩa).

            Để tính đạo hàm của hàm số :  trên một khoảng  , bằng định nghiã , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giả sử là số gia của đối số tại , tính

Bước 2: Lập tỉ số :

Bước 3: Tìm

Chú ý : Nếu khoảng bằng đoạn , ta thực hiện theo các bước sau:

             Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng .

             Bước 2: Tính đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm

        ==

             Bước 3: Tính đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm

Ví dụ: Dùng định nghĩa , tính đạo hàm của hàm số sau:

Lời giải:

 Giả sử là số gia của đối số tại , tính 
        ==

Do đó: ==

   Vậy hàm số có đạo hàm

Chú ý: Ta có thể nói hàm số có đạo hàm trên các khoảng và .

Dạng 1:   Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp:

Nhắc lại về giá trị tuyệt đối:

=

Để khử được dấu của giá trị tuyệt đối của ta phải xét dấu.

Ví dụ: Giải bất phương trình :
Lời giải:

• Với khi nên:

hoặc

Kết hợp điều kiện ta được

• Với khi nên:

  hoặc

Kết hợp điều kiện  , ta được 

Do đó : Bất phường trình có tập nghiệm là :

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a)

b)

Bài 2: Giải bất phương trình sau:

Dạng 2:    Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai.

 Phương pháp:

Chú ý biến đổi tương đương sau:

I. Cấu trúc :

Câu 1. (4điểm)

a) Tính tọa độ của vectơ hoặc tính độ dài của vectơ , tích có hướng của hai vectơ

b) Viết phương trình mặt cầu

Câu 2: (5 điểm)

a) Viết phương trình mặt phẳng, phương trình tham số

b) Tính khoảng cách .(vị trí tương đối)

Câu 3: Chứng minh  là 4 đỉnh của tứ diện hoặc tứ diện đều, hoặc 3 đỉnh tạo thành một tam giác(đều, cân…)?

Đề Kiểm tra thử

Câu 1: Trong không gian cho bốn điẻm

a)  Tính độ dài của vectơ

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm là và đi qua ?

Câu 2: Cho hai đường thẳng

d  và d’

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với

b) Tính khoảng cách giữa và ?

Câu 3: Cho ba điểm     .Chứng minh rằng là tam giác đều?

Giả sử cần tính giới hạn = có dạng

Phương pháp : Ta biến đổi giói hạn trên về mộy trong các dạng sau:

Dạng 1: Ta được =

Dạng 2: Ta được = với

Dạng 3: Ta được =

với

Chú ý : Một số bài tóan có dạng vô định ta dùng cách biến đổi như sau:

Dạng :

Dạng : 

Dạng

Cho hàm số : , để tính giới hạn mà: và

hoặc và

 hoặc ta làm như sau

Lấy lôgarit hai vế dạng

Chuyển về dạng   rồi áp dụng một trong ba dạng trên.

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn sau:

     (ĐHQG Hà Nội 1998)

Lời giải:

Đặt , ta có

Khi đó :

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:

    (ĐHTC Kế Toán 2001)

Lời giải:

Viết giới hạn trên dưới dạng

Đặt , ta có

Khi đó

Ví dụ 3: Tính giới hạn sau: (ĐHGT-1998)

Lời giải:

Viết giới hạn trên dưới dạng

Đặt , ta có

Đặt , ta có

Khi đó:

Nhận xét : Để tính giới hạn trên bằng phương pháp thông thường ta làm như sau

=
=
=

=

Do đó :

Ví dụ 4: Tính giới hạn sau

,

Lời giải:

Viết lại giới hạn trên như sau:

Đặt ,ta có ,

,  

Khi đó :

Ví dụ 5: Tính giới hạn sau

    (dạng

Lời giải:

Đặt Lấy lôgarit ta có =

Xét . Ta có

Do đó :

      (*)

Lời giải:

            Nhân tử và mẫu của phân thức với

            Khi đó (*) trở thành =

Chú ý:   Thông thường những dạng bài tập như trên ta thường biến đổi để ”mẫu” là một số thực.

Bài tập 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức ()

a)

b)

c)

Lời giải:

Cách giải 1:

a) Rút gọn vế phải sau đó trừ hai vế cho (3-5i) ta được:

Nhân hai vế cho , ta được:

b) Làm tương tự câu a), ta được.

Chú ý rằnh  , do đó để có được ta nhân vế với , ta được:

=

=

 Cách giải 2 câu b):

 Đặt , ta có:

  =
  =

Theo tính chất của 2 số phức bằng nhau ta có:

Vậy

c)

Cách giải 1:

Chuyển vế , ta được :

Để có được  ở vế phải, chúng ta sử dụng tính chất

               =

Nhân hai vế cho , ta được:

Cách giải 2: Đặt và sử dụng tính chất của 2 số phức bằng nhau để tìm

Bài tập 3:  Giải phương trình:

Lời giải:

Ta có   

             Phương trình có hai nghiệm phức

                            ;

Bài tập 4: Tìm căn bậc hai của số phức

Lời giải:

Gọi số phức (nếu có ) là căn bậc hai của , khi đó ta có

Từ đẳng thức trên suy ra hệ phương trình

Giải hệ ta được:   và

          Vậy có hai căn bậc hai của số phức là : và

Bài tập 5: Giải phương trình sau trên tập số phức.

Lời giải:

• Ta có :
• Tìm căn bậc hai của

Gọi số phức (nếu có ) là căn bậc hai của , khi đó ta có

Từ đẳng thức trên suy ra hệ phương trình

Giải hệ ta được:   và

Có  hai căn bậc hai của số phức là : và

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm

Đường thẳng  đi qua điểm  và có vectơ chỉ phương  là phương trình có dạng           (trong đó  t là tham số)

Chú ý: 

Nếu thì  có dạng  gọi là phương trình chính tắc

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là
           Giải:

Phương trình tham số của đường thẳng  là :

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm A(-1;2;1) và B(-3;0;3)

Nhận xét:  nằm trên  nên là một vecto chỉ phương của  .

          Giải:

Đường thẳng     có vectơ chỉ phương  và đi qua A(-1;2;3)

Phương trình tham số của đường thẳng  là :

Ngoài ra còn có thể chọn đi qua B(-3;0;1). PTTS có dạng:

Ví dụ 3: Chứng minh đường thẳng :    vuông góc với mặt phẳng : 2x+4y+6z-9=0

           Giải :

  có vectơ chỉ phương

 
 có vecto pháp tuyến

Ta có  , suy ra .