Cực trị của hàm số

 Dạng toán 1: Điều kiện để hàm số (đồ thị hàm số) y = f(x, m) có cực trị

 Phương pháp giải:

Để xác định các giá trị của tham số m sao cho hàm số (đồ thị hàm số) y=f(x,m) có n cực trị ta tiến hành như sau

  • Tìm tập xác định D của hàm số
  • Tính đạo hàm y'=f'(x,m)
  • Xác định điều kiện để f'(x,m) đồi dấu n lần trên tập D
  • Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị m thỏa nó (cũng là thỏa bài toán)
  • Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất việc giải toán

Chú ý́

Các hàm số: y=ax^3+bx^2+cx+d (a\ne0) , y=\frac{ax^2+bx+c}{a'x+b'}

 Hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị (gồm một cực đại và một cực tiểu)

 Điều kiện để có cực trị của hàm số đó là: PT y'=0 có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ: Cho hàm số y= \frac{x^2+2m^{2}x+m^2}{x+1} với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị.

Hướng dẫn giải:

  • Tập xác định : D=R\backslash \left\{{-1} \right\}
  • Đạo hàm: y'=\frac{x^2+2x+m^2}{\left({x+1} \right)^2}
  • Đặt \phi (x)=x^2+2x+m^2
    Hàm số có cực trị \Leftrightarrow \phi (x)=0 có hai nghiêm phân biệt

                       thỏa \left\{\begin{array}{l}{\Delta}>0 \\ \phi(-1) \ne 0 \end{array}\right.

Đáp án: -1<m<1

Bài tập rèn luyện:

 Bài 1. Xét hàm số: y=x^3-(m-1)x^2+(2m-1)x+9m-5. Xác định các giá trị của tham số m sao cho hàm số có hai cực trị

Bài 2.  Xét hàm số: y=mx^3+(m-1)x^2+(2m-3)x+m-7. Xác định các giá trị của tham số m sao cho hàm só có cực trị

 Bài 3. Xét hàm số: y=(m - 1)x^3-(2m - 1)x^2+(m-3)x+11m-1. Xác định các giá trị của tham số m sao cho hàm số không có cực trị

 Bài 4.  Xét hàm số: y=\frac{x^2-(m-2)x+3m+1}{x-2}. Xác định các giá trị của tham số m sao cho hàm số có cực trị

 Bài 5. Xét hàm số:y=\frac{mx^2-(m+1)x+2m-6}{x+1}. Xác định các giá trị của tham số m sao cho hàmCo số không có cực trị

 Dạng toán 2: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm. 

  •  Điều kiện để hàm số có cực trị tại x=x_0

\left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right) \ne 0 \\ \end{array} \right.

  • Điều kiện để hàm số có cực đại tại x_0

 \left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right)<0 \\ \end{array} \right.

  •  Điều kiện để hàm số có cực tiểu tại x_0

 \left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right)>0 \\ \end{array} \right.

  • Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu)

 y' có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}{\Delta}>0 \\ a \ne 0 \end{array}\right.

  • Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị :

y'=0 có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Tìm m để hàm số y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x+m đạt cực tiểu tại x=2

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D=R

Đạo hàm y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)

Điều kiện đủ để hàm số đạt cức tiểu tại x=2 là:

\left\{ \begin{array}{l} y'\left({2}\right)=0 \\ y''\left({2}\right)>0 \\ \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3(4-4m+m^2-1)=0 \\ 6(2-m)<0 \\ \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m^{2}-4m+3=0 \\ 2-m<0 \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m=1 \\ m=3 \end{array} \right.m>2

\Leftrightarrow m=3

Kết luận: m=3

 Bài tập rèn luyện:

1. Cho hàm số y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1. Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại điểm x=1.

2.Cho hàm số y=mx^4+(m^2-9)x^2+10. Tìm m để hàm số có 3 cực trị.

3. Định m để y=x^3-3mx^2+(m^2-1)x-(m^2-1) đạt cực đại tại x=1

4. Cho hàm số \frac{x^4}{2}-ax^2+b. Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng -2 tại x=1

5. Cho hàm số y=x^3+(m-1)x^2-(m+3)x-1. CMR đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu . Viết hương trình đường thẳng qua hai điểm cực tiểu của hàm số .



Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: