Sự biến thiên của hàm số

Dạng toán 1: Xét sự biến thiên của hàm số

Phương pháp giải:

  • Tìm miền xác định của hàm số .
  • Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm.
  •  Nếu y'(x) \ge 0 với mọi (y'=0 tại điểm thuộc (a;b) )thì hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
  • Nếu y'(x) \le 0 với mọi (y'=0 tại điểm thuộc (a;b) )thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=\frac{1}{3}x^3+mx^2+(m+6)x-(2m+1) đồng biến trên R

Hướng dẫn giải:

  • Tập xác định D=R
  • Đạo hàm y'=x^2+3mx+m+6
  • Hàm số đồng biến trên R \Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x \in R

\Leftrightarrow x^2+3mx+m+6\ge 0

\Leftrightarrow \Delta\le 0 \Leftrightarrow m^2-m-6\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 3

Vậy với \in [-2;3] thì hàm số đã cho đồng biến trên R.

Ví dụ 2:Tìm m để hàm số y=(m-2)x^3-3x^2-3x+2 luôn nghịch biến trên tập xác định.

Hướng dẫn giải:

  • Tập xác định D=R
  • Đạo hàm y'=3(m-2)x^2-6x-3=3\left[{(m-2)x^2-2x-1}\right]

Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khi y'\le 0, \forall x\in R

\Leftrightarrow {(m-2)x^{2}-2x-1}\le 0,\forall x \in R
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-2<0 \\ \Delta'=3+m\le 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m<2 \\ m \le -3 \end{array} \right.
\Leftrightarrowm\le -3.

Kết luận: Giá trị của m phải thỏa mãn yêu cầu bài toán là : m\le -3.

Bài tập rèn luyện:

1. Tìm m để hàm số y=x^3-3x^2+(1+3m)x+3m+4 luôn đồng bến trên tập xác định của hàm số .

2. Tìm m để hàm số y=\frac{x-4+m}{1-x} đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

3. Tìm m để hàm số y=\frac{mx+1}{x+m} nghịch biến trên tập xác định.

Dạng toán 2: Hàm số đồng biến , nghịch biến trên một khoảng

Phương pháp giải:

  • Vẫn dùng các định lí nhận biết tính tăng giảm của hàm số trên một khoảng
  • Bài toán thưeờng dẫn đến một bài toán về tam thức bậc hai
  • Học sinhn cần lưư ý việc so sánh 1 số \alphavới hai nghiệm của f(x)=ax^2+bx+c a\ne 0

                    + af(\alpha)<0\Leftrightarrowx_{1}<\alpha<x_2 

                    + \alpha<x_1<x_2\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} af(\alpha)>0 \\ \Delta>0 \\ \frac{S}{2}>\alpha \end{array} \right.

                    + x_1<x_2<\alpha\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} af(\alpha)>0 \\ \Delta>0 \\ \frac{S}{2}<\alpha \end{array} \right.

Ví dụ: Cho hàm số y=x^3+(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m(2m-1)

a) Chứng minh rằng hàm số không thể luôn đồng biến .

b) Định m để hàm số đồng biến với x\ge 2

Hướng dẫn giải:

a) Tập xác định D=R

Đạo hàm: y'=3x^2-2(m+1)x-2m^2+3m-2

\Delta'=(m+1)^2+6m^2-9m+6=7(m^2-m+1)>0,\forall m

Điều này cho thấy phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt , suy ra đạo hàm đổi dấu 2 lần . Vậy hàm số không thể luôn luôn đồng biến được.

b) Định m để hàm số đồng biến với x\ge 2

Hàm số đồng biến với x\ge 2\Leftrightarrowy'\ge 0,\forallx\ge 2

Nhưng nếu x_1;x_2 (x_1<x_2) là 2 nghiệm của y'=0 thì bảng xét dấu của y' là ( Học sinh tự lập)

Từ bảng xét dấu: y'\ge 0,\forall x\ge 2\Leftrightarrowx_1<x_2\le 2

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y'(2)\ge 0 \\ \frac{S}{2}<2 \end{array} \right.

…. \Leftrightarrow-2 \le m \le \frac{3}{2}

Vậy hàm số đồng biến với x\ge 2 nếu và chỉ nếu -2 \le m \le \frac{3}{2}

Bài tập rèn luyện:

1. Cho hàm số y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)+2

a) Định m để hàm số đồng biến trong khoảng \left({2;+\infty} \right)

b) Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng \left({-\infty;-1}\right),\left({2;+\infty}\right).

2. Tìm m để hàm số y=x^2(m-x)-m đồng biến trong khoảng (1;2).

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 30 other followers

%d bloggers like this: