Tìm GTLN,GTNN của hàm số

A. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một khoảng.

Phương pháp:

  • Tìm tập xác định
  • Tính y'
  • Giải phương trình y'=0 (các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn .
  • Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên \Rightarrow GTLN,GTNN.

Bài toán 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn [a,b]?

Phương pháp:

  • Tính y'
  • Giải phương trình y'=0, để tìm các nghiệm {x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]
  • Tính các giá trị f(x_1),f(x_2),...,f(x_n)f(a),f(b)
  • GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm
  • GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm.

Ví dụ:

a) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số:  y=\sqrt {2x-x^2}
b) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số: y=\frac{x^2+x+1}{x} trên đoạn\left[{\frac{1}{2};2}\right]

Hướng dẩn giải:

a)

  • Tập xác định : D=[0;2]
  • y'=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}
  • y'=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y=1
  • Bảng biến thiên:( các em tự lập)
  • Kết luận:

\max \mathop {f(x)}\limits_{\left[ {0,2} \right]}=f(1)=1

\min \mathop {f(x)}\limits_{\left[ {0,2} \right]}=f(0)=0

b)

  • y'=\frac{x^2-1}{x^2}
  • y'=0 \Leftrightarrow x^2-1=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1\in\left[\frac{1}{2};2\right] \\ x=-1\notin\left[\frac{1}{2};2\right] \end{array}\right.
  • Ta có y(\frac{1}{2})=\frac{7}{2}, y(1)=3, y(2)=\frac{7}{2}
  • Kết luận:

\mathop{\min}\limits_{[\frac{1}{2};2]}f(x)=f(2)=f(\frac{1}{2})=\frac{7}{2}

\mathop{\max}\limits_{\left[{\frac{1}{2};2}\right]} f(x)=f(1)=3

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

a) f(x)=x^3-8x^2+16x-9 trên đoạn [1;3].

b) f(x)=x^3-3x+1 trên đoạn [0;2].

c) f(x)=-2x^4+4x^2+3 trên đoạn [0;2].

Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

a) y=f(x)=2sinx-\frac{4}{3}\sin ^2 x trên đoạn [0;\pi].

b) y=f(x)=x^2.e^x trên đoạn [-3;2].

c) y=f(x)=sin^3x-cos2x-sinx+2

d) y=f(x)=sin2x-x trên đoạn \left[ {-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right].

Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

a) y=f(x)=(x+2)\sqrt{4-x^2}

b) y=f(x)=(3-x)\sqrt{x^2+1}

c) y=f(x)=x-5+\sqrt{4-x^2}


B. Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là một số cho trước

Phương pháp giải:

Giả sử bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y=f(x,m) có giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) trên đoạn [a;b]M (là m), ta có thể tiến hành theo một tring các cách sau.

Chú ý: Hàm số y=f(x,m) liên tục trên [a;b]

Cách 1:

  • Tính đạo hàm f'(x,m)
  • Gải phương trình f'(x,m)=0 để tìm các nghiệm {x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]
  • Tính các giá trị f(x_1),f(x_2),...,f(x_n)f(a),f(b)
  • Từ các kết quả trên, xác định GTLN (GTNN) của hàm số , giả sử là f(x_i)
  • Giải phương trình f(x_i)=0 để tìm nghiệm m
  • Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.

Cách 2:

  • Xác định điều kiện để bất phương trình : f(x)\le M được thỏa mãn \forall x \in [a;b]
  • Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của m thỏa điều kiện vừa nêu
  • Xác định điều kiện để phương trình: f(x, m) = 0 có nghiệm x\in [a; b]
  • Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của m thỏa điều kiện
  • So sánh các giá trị của m tìm được ở các bước 2 và 3 để chọn ra giá trị m thỏa bài toán
  • Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.

Cách 3:

  • Tính đạo hàm f'(x,m)
  • Giải phương trình f'(x, m)=0 để tìm các nghiệm {x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]
  • Tính các giá trị f(x_1),f(x_2),...,f(x_n)f(a),f(b)
  • Lần lượt giải các phương trình: f(x_1)=M , f(x_2)=M, ... , f(x_n)=M,f(a)=M,f(b)=M để tìm các nghiệm m_0 của chúng
  • Thay m=m_0 vào hàm số và kiểm  tra trực tiếp xem giá trị m_0 thực sự thỏa bài toán để nhận  hoặc loại giá trị m_0
  • Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.

Bài tập 1:

Xét hàm số: y=x^2-2mx-m+2 . Xác định giá trị của tham số $latex m$ sao cho hàm số giá trịlớn nhất trên [1; 3] là 6

Hướng dẩn giải:

  • Ta có đạo hàm y': y'=2x-2m, vậy y'=0 \Leftrightarrow 2x-2m=0 \Leftrightarrow  x=m
  • Nhận xét rằng : \forall x \in R, y(m)\le y(1),y(3)
  • Do vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên [1;3] hoặc tại x=1 hoặc tại x=3, suy ra
  • y(1)=6     (1)
  • y(3)=6    (2)
  • Do y(1)=-3m+3, nên từ (1) suy ra m=-1
  • Do y(3)=-7m+11, nên từ (2) suy ra m=\frac{5}{7}

Với m=-1, thay vào hàm số ta được: y=x^2+2x+3.

Bảng biến thiên: (các em tự lập)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [1;3] là 18 , suy ra m=-1 không thỏa bài toán

Suy ra m=-1 loại

Với m=\frac{5}{7} , thay vào hàm số ta được : y=x^2-\frac{10}{7}x+\frac{9}{7}

Bảng biến thiên: (các em tự lập)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [1;3] là 6

Suy ra giá trị m=\frac{5}{7} thỏa mãn bài toán .

  • Kết luận: Giá trị cần tìm :m=\frac{5}{7}

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 30 other followers

%d bloggers like this: