Sự biến thiên của hàm số

Dạng toán 1: Xét sự biến thiên của hàm số

Phương pháp giải:

Tìm miền xác định của hàm số .
Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm.
Nếu $y'(x) \ge 0$ với mọi ( $y'=0$ tại điểm thuộc $(a;b)$ )thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;b)$ .
Nếu $y'(x) \le 0$ với mọi ( $y'=0$ tại điểm thuộc $(a;b)$ )thì hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(a;b)$ .

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}x^3+mx^2+(m+6)x-(2m+1)$ đồng biến trên $R$

Hướng dẫn giải:

Tập xác định $D=R$
Đạo hàm $y'=x^2+3mx+m+6$
Hàm số đồng biến trên $R$ $\Leftrightarrow$ $y'\ge 0$ , $\forall x \in R$

$\Leftrightarrow$ $x^2+3mx+m+6\ge 0$

$\Leftrightarrow$ $\Delta\le 0$ $\Leftrightarrow$ $m^2-m-6\le 0$ $\Leftrightarrow$ $-2\le m\le 3$

Vậy với $\in [-2;3]$ thì hàm số đã cho đồng biến trên $R$ .

Ví dụ 2:Tìm m để hàm số $y=(m-2)x^3-3x^2-3x+2$ luôn nghịch biến trên tập xác định.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định $D=R$
Đạo hàm $y'=3(m-2)x^2-6x-3=3\left[{(m-2)x^2-2x-1}\right]$

Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khi $y'\le 0$ , $\forall x\in R$

$\Leftrightarrow$ ${(m-2)x^{2}-2x-1}$ $\le 0$ , $\forall x \in R$
$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} m-2<0 \\ \Delta'=3+m\le 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} m<2 \\ m \le -3 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$ $m\le -3$ .

Kết luận: Giá trị của m phải thỏa mãn yêu cầu bài toán là : $m\le -3$ .

Bài tập rèn luyện:

1. Tìm $m$ để hàm số $y=x^3-3x^2+(1+3m)x+3m+4$ luôn đồng bến trên tập xác định của hàm số .

2. Tìm $m$ để hàm số $y=\frac{x-4+m}{1-x}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

3. Tìm $m$ để hàm số $y=\frac{mx+1}{x+m}$ nghịch biến trên tập xác định.

Dạng toán 2: Hàm số đồng biến , nghịch biến trên một khoảng

Phương pháp giải:

Vẫn dùng các định lí nhận biết tính tăng giảm của hàm số trên một khoảng
Bài toán thưeờng dẫn đến một bài toán về tam thức bậc hai
Học sinhn cần lưư ý việc so sánh 1 số $\alpha$ với hai nghiệm của $f(x)=ax^2+bx+c$ $a\ne 0$

+ $af(\alpha)<0$ $\Leftrightarrow$ $x_{1}<\alpha<x_2$

+ $\alpha<x_1<x_2$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} af(\alpha)>0 \\ \Delta>0 \\ \frac{S}{2}>\alpha \end{array} \right.$

+ $x_1<x_2<\alpha$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} af(\alpha)>0 \\ \Delta>0 \\ \frac{S}{2}<\alpha \end{array} \right.$

Ví dụ: Cho hàm số $y=x^3+(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m(2m-1)$

a) Chứng minh rằng hàm số không thể luôn đồng biến .

b) Định $m$ để hàm số đồng biến với $x\ge 2$

Hướng dẫn giải:

a) Tập xác định $D=R$

Đạo hàm: $y'=3x^2-2(m+1)x-2m^2+3m-2$

$\Delta'=(m+1)^2+6m^2-9m+6$ = $7(m^2-m+1)>0$ , $\forall m$

Điều này cho thấy phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt , suy ra đạo hàm đổi dấu 2 lần . Vậy hàm số không thể luôn luôn đồng biến được.

b) Định $m$ để hàm số đồng biến với $x\ge 2$

Hàm số đồng biến với $x\ge 2$ $\Leftrightarrow$ $y'\ge 0$ , $\forall$ $x\ge 2$

Nhưng nếu $x_1;x_2$ ( $x_1<x_2$ ) là 2 nghiệm của $y'=0$ thì bảng xét dấu của $y'$ là ( Học sinh tự lập)

Từ bảng xét dấu: $y'\ge 0$ , $\forall x\ge 2$ $\Leftrightarrow$ $x_1<x_2\le 2$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} y'(2)\ge 0 \\ \frac{S}{2}<2 \end{array} \right.$

…. $\Leftrightarrow$ $-2 \le m \le \frac{3}{2}$

Vậy hàm số đồng biến với $x\ge 2$ nếu và chỉ nếu $-2 \le m \le \frac{3}{2}$

Bài tập rèn luyện:

1. Cho hàm số $y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)+2$

a) Định $m$ để hàm số đồng biến trong khoảng $\left({2;+\infty} \right)$

b) Định $m$ để hàm số đồng biến trong các khoảng $\left({-\infty;-1}\right)$ , $\left({2;+\infty}\right)$ .

2. Tìm $m$ để hàm số $y=x^2(m-x)-m$ đồng biến trong khoảng $(1;2)$ .

Like this:

Be the first to like this page.

T2	T3	T4	T5	T6	T7	CN
« Tháng 2
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

	admin on Giới thiệu
	admin on Tọa độ vectơ
	Hieu Tran on Tọa độ vectơ
	Hieu Tran on Phương trình đường thẳng trong…
	admin on Phương trình đường thẳng trong…
	Hieu Tran on Phương trình đường thẳng trong…
	admin on Phương trình đường thẳng trong…
	Hieu Tran on Phương trình đường thẳng trong…
	admin on Ứng dụng các tính chất của hàm…
	trinh on Phương trình đường tròn
	anh hai on Ứng dụng các tính chất của hàm…
	Tea Mee on Giới thiệu
	Tung on Pt-Bpt mũ-lôgarit
	demlanh on Pt-Bpt mũ-lôgarit
	nina on 17 Đề thi thử tốt nghiệp THPT …

Blogmath’s-Toán THPT

Nội dung chính

Bài viết

Bài viết mới

Số người TC

Đang online

Bộ đếm Blog

Visitors

Học thi

Tin mới-Vietnamnet