Ứng dụng định nghĩa đạo hàm vào tính giới hạn

ỨNG DỤNG Đ/N ĐẠO HÀM VÀO TÍNH GIỚI HẠN

Giả sử cần tính giới hạn L=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } {\rm{Q}}(x) có dạng \frac{0}{0}

Phương pháp : Ta biến đổi giói hạn trên về mộy trong các dạng sau:

Dạng 1: Ta được L=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \frac{{f(x)\,\, - \,f(x_0 )}}{{x - \,x_0 }}\,\, = \,f'(x_0 )

Dạng 2: Ta được L=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \frac{{f(x)\,\, - \,f(x_0 )}}{{x - \,x_0 }}\,{\rm{P(}}x)\, = \,f'(x_0 ){\rm{P(}}x_0 {\rm{)}} với P(x_0)\ne \infty

Dạng 3: Ta được L=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \frac{{\frac{{f(x)\,\, - \,f(x_0 )}}{{x - \,x_0 }}}}{{\frac{{g(x)\,\, - \,g(x_0 )}}{{x - \,x_0 }}}}\,\, = \,\,\frac{f'(x_0 )}{g'(x_0 )}

với g'(x_0 )\, \ne \,0

Chú ý : Một số bài tóan có dạng vô định ta dùng cách biến đổi như sau:

Dạng 0.\infty: f(x)g(x)\,\, = \frac{{f(x)}}{{\frac{1}{{g(x)}}}}

Dạng \infty-\inftyf(x)-g(x)\,\,=\,\,\frac{1}{{\frac{1}{{f(x)}}}}\,\, - \,\,\frac{1}{{\frac{1}{{g(x)}}}}\,=\frac{{\frac{1}{{f(x)}}-\frac{1}{{g(x)}}}}{{\frac{1}{{f(x)g(x)}}}}

Dạng 1^\infty,\,\,\infty^0,\,\,0^0

Cho hàm số : y\,\, = \,[\,f(x)]^{g(x)}, để tính giới hạn \mathop{\lim }\limits_{x \to x_0 }y mà: \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f(x) = 1\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } g(x) = \infty

hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f(x) = \infty\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } g(x)=0

 hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} f(x)=\mathop {\lim}\limits_{x \to x_0} g(x)=0 ta làm như sau

Lấy lôgarit hai vế \ln y\, = \,g(x).\,\ln f(x) dạng 0.\infty

Chuyển \ln y\, về dạng \frac{0}{0}  rồi áp dụng một trong ba dạng trên.

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn sau:

L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x^3-\,\sqrt {3x-2}}{x-1}     (ĐHQG Hà Nội 1998)

Lời giải:

Đặt f(x)\, = \,x^3 \, - \,\sqrt {3x\, - 2}, ta có f(1)=0
f'(x)\, = \,3x^2 \, - \frac{3}{{2\sqrt {3x\, - \,2} }}\,\, \Rightarrow \,f'(1)\, = \,3\, - \,\frac{3}{2}\, = \,\frac{3}{2}

Khi đó : L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)\, - \,f(1)}}{{x\, - \,1}}\, = \,f'(1)\,\, = \,\,\frac{3}{2}

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:

L=latex\mathop{\lim }\limits_{x\to 1}\frac{{\sqrt {5\,- x^3}-\,\sqrt[3]{{x^2\,+\,7}}}}{{x^2-1}}    (ĐHTC Kế Toán 2001)

Lời giải:

Viết giới hạn trên dưới dạng
\mathop{\lim }\limits_{x \to 1}\frac{{\sqrt {5\, - x^3}-\,\sqrt[3]{{x^2 \,+\,7}}}}{{x-1}}.\frac{1}{{x+1}}

Đặt f(x)\, =\,\sqrt {5 - \,x^3 } \, - \,\,\sqrt[3]{{x^2 \, + \,7}}, ta có f(1)=0

f'(x)\,\, = \,\, - \frac{{3x^2 }}{{2\sqrt {5 - x^2 } }}\,\, - \,\,\frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{(x^2 \, + \,7)^2 }}}} \Rightarrow f'(1)\, = \, - \frac{{11}}{{12}}
Khi đó L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}.\frac{1}{{x + 1}}\, = \,f'(1)\frac{1}{2}\,\, = \,\, - \frac{{11}}{{24}}

Ví dụ 3: Tính giới hạn sau: (ĐHGT-1998)

L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1\, - \,\sqrt {2x\, + \,1} \,\, + \,\,\sin x}}{{\sqrt {3x\, + \,4} \,\, - \,2\, - \,x}}

Lời giải:

Viết giới hạn trên dưới dạng

L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{1\, - \,\sqrt {2x\, + \,1} \,\, + \,\,\sin x}}{x}}}{{\frac{{\sqrt {3x\, + \,4} \,\, - \,2\, - \,x}}{x}}}

Đặt f(x)\, = \,1\, - \,\sqrt {2x\, + \,1} \,\, + \,\,\sin x, ta có f(0)=0

f'(x)\, = \, - \frac{1}{{\sqrt {2x\, + \,1} }}\,\, + \,\,\cos x \Rightarrow \,f'(0)\, = \,0

Đặt g(x)\, = \,\sqrt {3x\, + \,4} \,\, - \,2\, - \,x, ta có g(0)=0

g'(x)\, = \,\frac{3}{{2\sqrt {3x\, + \,4} }}\, - \,1\,\, \Rightarrow \,g'(0)\, = \, - \frac{1}{4}

Khi đó: L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{f(x)\, - \,f(0)}}{{x\, - \,0}}}}{{\frac{{g(x)\, - \,g(0)}}{{x - \,0}}}}\,\, = \,\frac{{f'(0)}}{{g'(0)}}\,\, = \,0

Nhận xét : Để tính giới hạn trên bằng phương pháp thông thường ta làm như sau

\frac{{1\, - \,\sqrt {2x\, + \,1} \,\, + \,\,\sin x}}{{\sqrt {3x\, + \,4} \,\, - \,2\, - \,x}}

=(\frac{{1\, - \,\sqrt {2x\, + \,1} \,\, + \,\,\sin x}}{x})\,:\,(\frac{{\sqrt {3x\, + \,4} \,\, - \,2\, - \,x}}{x})
=(\frac{{1\, - \,\sqrt {2x\, + \,1} }}{x}\, + \,\frac{{\sin x}}{x})\,:\,(\frac{{\sqrt {3x\, + \,4} \,\, - \,2\,}}{x}\, - \,1)
=(\frac{{ - 2x}}{{x(1\, + \,\sqrt {2x\, + \,1} )}} + \,\frac{{\sin x}}{x}):(\frac{{3x}}{{x(\sqrt {3x\, + \,4} \,\, + \,2)}}\, - 1)

=(\frac{{ - 2}}{{1\, + \,\sqrt {2x\, + \,1} }} + \,\frac{{\sin x}}{x}):(\frac{3}{{\sqrt {3x\, + \,4} \,\, + \,2}}\, - 1)

Do đó :\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1\, - \,\sqrt {2x\, + \,1} \,\, + \,\,\sin x}}{{\sqrt {3x\, + \,4} \,\, - \,2\, - \,x}}

=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{{ - 2}}{{1\, + \,\sqrt {2x\, + \,1} }} + \,\frac{{\sin x}}{x}):(\frac{3}{{\sqrt {3x\, + \,4} \,\, + \,2}}\, - 1)=0

Ví dụ 4: Tính giới hạn sau

K=\mathop {\lim }\limits_{x \to {a}}({a}-x)\tan \frac{\pi x}{2a}, (a\ne \,0)

Lời giải:

Viết lại giới hạn trên như sau:

=\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{a}}} \frac{{ - 1}}{{\frac{{\cot \frac{{\pi x}}{{2{\rm{a}}}}}}{{x - {\rm{a}}}}}}\, = \,\frac{{ - 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{a}}} \frac{{\cot \frac{{\pi x}}{{2{\rm{a}}}}}}{{x - {\rm{a}}}}}}

Đặt f(x) =\cot \frac{{\pi x}}{{2{\rm{a}}}},ta có f({\rm{a}})\, = \,0,f'(x) = \frac{\pi }{{2{\rm{a}}}}\frac{{ - 1}}{{\sin ^2 \frac{{\pi x}}{{2{\rm{a}}}}}}\,

\Rightarrow f'(a)\,=\,\frac{-\pi}{2a},  \mathop {\lim}\limits_{x \to {a}}\frac{\cot \frac{\pi x}{2a}}{x-a}=f'(a)=\frac{-\pi}{2a}

Khi đó : K=\frac{2\pi}{a}

Ví dụ 5: Tính giới hạn sau

L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (e^x \, + \,x)^{\frac{1}{x}}    (dạng 1^\infty

Lời giải:

Đặt y=(e^x+\,x)^{\frac{1}{x}} Lấy lôgarit ta có y= (e^x+\,x)^{\frac{1}{x}} \Rightarrow \ln y=\frac{\ln(e^{x}+x)}{x}

Xét f(x)\,=\,{\rm{ln(e}}^x {\rm{+}}x{\rm{)}}. Ta có f(0)=0

f'(0)\, = \,2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{\rm{ln(e}}^x {\rm{+}}x{\rm{)}}}}{x}\,\, =\,\,\mathop {\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{f(x)\, - \,f(0)}}{{x - 0}}\,=\,f'(0)\,=\,2
Do đó :L=e^2

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: