Nguyên hàm

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Phương pháp chung:  Phân tích hàm số đã cho thành tổng hoặc hiệu của các hàm số có thể tìm được nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.

Bài tập: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.

1.f(x)=x^2-3x+\frac{1}{x}                  2.f(x)=\frac{2x^4+3}{x^2}

3.f(x)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}          4.f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt[3]{x}}

5.f(x)=2sin^2\frac{x}{2}                            6.f(x)=tan^2{x}                                              

7.f(x)=cos^2{x}                           8.f(x)=(tanx-cotx)^2                                

9.f(x)=\frac{1}{sin^2{x}.cos^2{x}}                     10.f(x)=\frac{cos2x}{sin^2{x}cos^2{x}}                   

11.f(x)=sin3x                            12.f(x)=2sin3x.cos2x               

13.f(x)=e^x(e^x-1)                   14.f(x)=e^x(2+\frac{e^-{x}}{cos^2{x}})

15.f(x)=2a^x+3^x                     16.f(x)=e^{3x+1}                   

17.f(x)=\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}                      18.f(x)=\frac{x-1}{\sqrt[3]{x}}

19.f(x)=(2x-1)\sqrt{x^2+4}       20.f(x)=\frac{2x}{x+\sqrt{x^{2}-1}}   

Phương pháp đổi biến số:    

Tính I=\int f[u(x)].u'(x)\,dx bằng cách đặt t=u(x)

Đặt t=u(x) \rightarrow dt=u'(x)dx

                                         I=\int f[u(x)].u'(x)\,dx=\int f(t)\,dt

Ví dụ:  Tính nguyên hàm của hàm số sau:

                               \int\sqrt{5-2x}\,dx

Giải:

Đặt t=5-2x ta có dt=-2dx

 \int\sqrt{5-2x}\,dx=\int -\frac{1}{2}\sqrt{t}\,dt

                                   =-\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.t^{\frac{3}{2}}

Vậy \int\sqrt{5-2x}\,dx=-\frac{1}{3}\sqrt{(5-2x)^3}+C

Bài tập: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.

1.\int\sqrt{x^2+1}.x\,dx

2.\int\frac{x}{x^2+5}\,dx

3.\int\frac{\ln^{3}x}{x}\,dx

4.\int x.e^{x^{2}+1}\,dx

5.\int\frac{sinx}{cos^{3}x}\,dx

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần 

Nếuu(x),v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

             \int u(x).v'(x)\,dx=[u(x).v(x)]-\int u'(x).v(x)\,dx

hay \int u\,dv=u.v-\int v\,du (với du=u'(x)dx,dv=v'(x)dx)

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.

                           \int(x^{2}+5).sinx\,dx

  Giải:

Đặt u=x^{2}+5 ta có du=2x.dx

       dv=sinx.dx ta có v=-cosx

\int (x^{2}+5).sinx\,dx=-cosx(x^{2}+5)\int (-cosx).2x\,dx

Tính.

\int (-cosx).2x\,dx

Đặt u=2x ta có du=2dx

      dv=-cosx.dx ta có v=-sinx

Do đó: \int (-cosx).2x\,dx=-2x.sinx+2\int sinx\,dx 

                                                           =-2x.sinx-2cosx

Vậy \int (x^{2}+5).sinx\,dx=-cosx(x^{2}+5)-2x.sinx-2cosx+C

Bài tập:Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.

1.\int x.sinx\,dx

2.\int (x^2+2x+3).cosx\,dx

3.\int x.e^x\,dx

4.\int 2x.\ln(x+1)\,dx

5.\int x^2.cos2x\,dx

 

Chúc các em là tốt, nếu không hiểu có thể hỏi qua Blog này hoặc hỏi trực tiếp”

28 phản hồi

  1. chaof thay
    thay oi em nghi may buoi hocj roi
    bay gio em hoc hanh dang hoang con kip ko
    nho thay gui lai y thjay

  2. Nếu thật sự cố gắng thì bây giờ vẩn còn kịp. cố gắng lên em nhé! có gì không hiểu thì hỏi , đừng ngại.

  3. mấy bài toán đó em giải rùi nhưng ko bik đúng không thầy ah!

  4. em giải rồi sao thầy không thấy bài giải.

  5. em moi tim duoc trang nay rat hay, cac ban co the tham khao.Chi can go vao de bai, trang web se tu dong hien ra ket qua cua bai toan nguyen ham. Sau khi lam xong bt co the kiem tra xem minh lam dung hay ko.
    http://integrals.wolfram.com/index.jsp

  6. nếu có điều kiện thì trang này rất hay, nhưng nó chỉ kiểm tra kết quả,nếu vậy em có thể tải maple 12 về dùng thì tiện hơn . Trong đó có thể kiểm tra từng bước cụ thể hơn.

  7. em muon hoi neu mot bai nguyen ham chua phan thuc. Phan mau la mot bieu thuc vo nghiem tuc la khong tach duoc thanh nhan tu thi fai lam the nao? em doc trong sach, ho dua thanh arctan.

  8. Sách củ thường sử dụng CT này để giải TH đó.
    \int{\frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C}
    nhưng bây giờ sách giáo khoa mới giảm tải nên không đưa vào chương trình ,vì vậy các em chỉ tham khảo không nên vận dụng vào bài tập vì ngoài chương trình.

  9. thầy ơi, thầy em cho bt về làm tết là 2 bài lấy nguyên hàm 1/(x^2 +1) và 1/(x^a +1) theo ct thì mình có kq như trên nhưng do chương trình giảm tải nên ko có ct, vậy em phải cm như thế nào đây??

  10. Cau 1: Đặt x=tant
    Câu 2: Em học ban nào ,truong nào?
    Kết quả: (em tham khảo)
    \int {\frac{1}{{x^a  + 1}}dx = } x.\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{\left( {\frac{1}{a}} \right)_k .\left( 1 \right)_k }}{{\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)_k }}} .\frac{{\left( { - x^{ - a} } \right)^k }}{{k!}}

  11. cảm ơn thầy, em học hùng vương, ban tự nhiên, em xin lỗi câu 2 em đánh nhầm, x^2 +a^2.

    phần bài tập em còn có câu này thật tình em ko biết có trong chương trình 12 ko mà sao rắc rối wa

    tích phân từ 1 dến 2 (1/ x căn x^3 +1 )

    mong thầy giải đáp giúp

  12. Thay ve que an tet nen khong giai dap kip thoi. Bài nayd em chi can nhân tử và mẩu cho x^2 , sau đó đặt t=\sqrt{x^{3}+1} roi binh phuong để mất căn, sau đó dạo hàm và đổi cận ……một chút biến đổi nửa. nếu không được thầy giải dáp cụ thể.
    chúc em lam tốt.

  13. Thầy ơi có có cã thễ 3 trường hợn để ta đặt U nhưng em thấy có mấy trường hợp đặt sao mà em ko hiểu nổi
    VD:
    bài vd5 SGK 12 cải cách trang 108
    thầy giúp em

  14. À còn cái này nữa làm sao có thể viết lủy thừa rồi căn bật 2 lên bài trong bloc của thấy thế em có mấy câu muốn hỏi mà ko biết viết lên sao nứa #:-S

  15. những trường hợp không thuộc vào các dạng có sẳn thi đa phần ta thường đặt x=sint hoặc x=cost,tant
    Vídụ: \int {\sqrt {a^2  - x^2 } } dx ta phải đặt x=asint sau đó sử dụng các công thức kượng giác cơ bản biến đổi một tý thì sẻ ra ngay thôi. còn về việc đánh lũy thừa và căn bạc lên blog em sử dụng cấu trúc sau:
    lũy thừa: nhấn SHIFT 4cách latex CT(VD: X^2)sau đó SHIFT 4
    căn bậc: nhấn SHIFT 4cách \sqrt[bậc]{biểu thức}nhấn SHIFT4

  16. Dạ em cám ơn thầy ! thầy ơi hôm này em chán quá sao mà càng cố gắn điểm của em lại càng thấp 3 bài 9 điểm em học sút quá phải ko thầy.Có lẽ em phải làm lại từ đầu thôi ko thì muộn hết.Không dc buồn nữa ko dc chán nữa cố lên lấy lại những gì đã mất.Em muốn xin lổi thầy mong thầy giúp em 1 tay lấy lại thăng bằng cho em với !!!!

  17. Đối với Thầy ,khi lên đây các em là tất cả Thầy muốn dành hết tất cả những gì Thầy học được ở Trương ĐH để một phần nào đó giúp các em thay đổi hoàn cảnh của mình ,nhưng một sự thật không mong đợi làm Thầy rất buồn các em không chịu nghe .Nếu muốn tốt ta luôn bắt đầu từ cái dể nhất phải không em. Vì vậy hãy cố gắng lấy lại thăng bằng , nếu muón Thầycó thể giúp!Cố lên Thầy nghỉ em làm được.

  18. dạ em cám ơn thầy dã tin em,em sẽ cố.Thầy ơi !em nghĩ thầy cugn đừng quá thất vọng em thấy vẩn còn nhiều bạn rất có hứng với học tập mà .

  19. 3 bài tập thầy cho về hôm đi học phụ đạo em làm dc 2 còn câu c thì em đang giải mà nó cứ đi lòng vòng chưa ra
    câu a : đặt t=1-x^3 => -1/3dt=x^2dx
    và ta có X^5= x^3.X^2 1-t=X^3
    rồi ta đổi cận thay vào là ok .
    bài như thế ổn chưa thầy
    câu b cũng tương tự t= căn bật 2 của X^2+1
    và X^5=X^2.X^2.X
    còn câu c em đang làm hihihi vẩn chưa ra:-/

  20. + Bước 1: Biến đổi cos2x=1-2sin^{2}x
    + Bước 2: Đặt t=sinx, sau đó biến đổi…
    + Bước 3: Đặt một lần nửa u=\sqrt{8-2t}
    ……
    Đến đây được rồi chứ! chúc em làm tốt !

  21. quá hay \:D/ em làm dc đến bước 2 rồi sau ko biết đặt u = cái đo thế là po tay chừ là ổn rồi
    cám ơn thầy

  22. thay oi em dang gap kho khan ve van de giai tich phan bay gio em muon khac phuc em phal lam sao day thay

  23. Cho Thầy hỏi em làm đạo hàm được ko?. Nếu được em nắm chắc bảng nguyên hàm , học cách tìm Nguyên hàm từ những hàm cơ bảng, sau đó…, vấn đề gì ko hiểu hãy hỏi qua Blog này em nh.Cúc em thành công!

  24. chao thay,

    em dang can tinh nguyen ham cua ham nay?

    5*ln(1/x)

    Mong thay chi giup em?
    em cam on thay rat nhieu

  25. \int {5\ln (\frac{1}{x}} )dx=- 5\int {\ln xdx}
    Đặt u=lnx\Rightarrow =du = \frac{1}{x}dx
    dv=dx\Rightarrow v=x
    Emtính tiếp nhé!

  26. Em cam on thay rat nhieu….em dang gap 1 bai toan rat kho, can tinh nguyen ham

    f(x) = a*ln( (b/(c – x) )

    Thay co the goi y cach lam cho em 1 chut duoc ko a?

    Em cam on thay!

  27. Bài này a,b,c là hằng số
    Cách giải: Em sử dụng tích chất của hàm loga
    + f(x)=a\ln\frac{b}{c-x}=a(lnb-ln(c-x)
    Do đó:
    \int {f(x)dx = a\int{\ln{b}dx - a\int {\ln (c - x)dx} } }
    =a\ln{b}.xa\int\ln(c-x)dx
    Tính a\int\ln(c-x)dx
    Tương tự như bài trước em hỏi
    Đặt u=ln(c-x)
    dv=dx
    Em giải hoàn chỉnh nhé, chúc em vui!

  28. thay oi em co bai` nay ma em giai bao lau khong ra thay giup em voi nguyen ham cua lnx/lnx+1 cam on thay

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: