Tích phân

Dạng 1: Phương pháp tính tích phân bằng cách sử dụng đ/n, tính chất và nguyên hàm cơ bản.

Phương pháp

Bước 1: Tìm nguyên hàm

Bước 2: Dùng công thức Newton-Leibuiz:

\int_a^bf(x)\,dx=F(x)\mid_a^b=F(b)-F(a)

Ví dụ: Tính các tích phân sau.

\int_{0}^{1}e^x+x\,dx

Phân tích:

B1: Tìm nguyên hàm \int e^x+x\,dx=e^x+\frac{1}{2}x^2

B2: Sử dụng công thức :\int_a^bf(x)\,dx=F(x)\mid_a^b=F(b)-F(a)

Giải:

\int_{0}^{1}e^x+x\,dx=(e^x+\frac{1}{2}x^2)\mid_0^1

=(e^1+\frac{1}{2})-e^0

=e-\frac{1}{2}

Bài tập: Tính các tích phân sau.

1.\int_{\frac{\pi}{3}}^\frac{\pi}{2}(2sinx+3cosx+x)\,dx

2.\int_0^1(x^3+x+1)\,dx

3.\int_0^1(e^x+x^2+1)\,dx

4.\int_1^2(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)\,dx

Dạng 2: Phương pháp đổi biến số( đặt ẩn phụ).

Phương pháp:

Ta sử dụng định lí sau: Nếu hàm số x=\varphi(t)
có đạo hàm\varphi '(t) liên tục trên đoạn \left[ {\alpha ;\beta } \right]và :

  • \varphi (t) = a;\varphi '(t) = b
  • t \in [{\alpha ;\beta }]\Leftrightarrowx\in [{a;b}] thì :

\int_a^{b}f(x)dx=\int_\alpha^{\beta} f({\varphi(t)})\varphi '(t)dt     (*)

Chú ý: Trong thực hành , việc áp dụng công thức(*) chỉ là việc thay hàm số f(x) bằng một hàm số khác theo biến số mới t(t \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]),hàm số thay thế là hàm sơ cấp có thể tìm được nguyên hàm trực tiếp từ bảng nguyên hàm ( hoặc sau một số phép biếnđỏi đại số).

Ví dụ:Tính tích phân sau.

I=\int_4^9 \frac{\sqrt {x}}{\sqrt{x}-1}\,dx

Phân ích:

Bước 1: Đặt (tùytheo bài toán mà ta đặt sao cho thích hợp)

Bước 2: Đổi cận x thành t (hoặc ngược lại)

Bước 3: Thay vào BT ban đầu và đổi biến số.

Giải:

+ Đặt t = \sqrt x\Leftrightarrowt^{2}=x
ta có dx=2tdt.

+ Đổi biến số : khi x=4\Rightarrowt=2,khix=9 \Rightarrowt=3

suy ra: I = \int_2^3 {\frac{t}{{t - 1}}} 2tdt = 2\int_2^3 {\frac{{t^2 }}{{t - 1}}} dt=2\int_2^3 {\left[ {t + 1 + \frac{1}{{t - 1}}} \right]} dt = 2\left( {\frac{{t^2 }}{2} + t + \ln \left| {t - 1} \right|} \right)|_2^3 =7+ln4

Bài tập: Tính các tích phân sau.

a)\int\limits_0^1{x\sqrt{x^{2}+1}}dx

b)\int\limits_0^{1}\frac{x^2 }{\sqrt{x^{3}+1}}dx

c)\int\limits_0^{\frac{\pi}{6}}\sqrt{1+4sinx}cosxdx

d)\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{1+3cosx}dx

e)\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} e^{cosx}sinxdx

f)\int\limits_0^{1}e^{x^{2}+2}xdx

g)\int\limits_e^{e^2 } {\frac{{1 + \ln ^2 x}}{{x\ln x}}dx}

k)\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + x^2 }}}

Dạng 3: Phương pháp tính tích phân từng phần.

Công thức tích phân từng phần:\int\limits_a^{b}u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^{b}-\int\limits_a^{b}v(x)u'(x)dx

Tích phân các hàm số dể phát hiện udv

Dạng 1: \int\limits_\alpha^{\beta}{f(x)\left[ \begin{array}{l}  \sin ax \\   cosax \\   e^{ax}  \\   \end{array} \right]}dx

\left\{ \begin{array}{l} u=f(x) \\  dv=\left[ \begin{array}{l} \sinax \\ \cosax \\  e^{ax} \\ \end{array}\right]dx \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du= f'(x)dx \\ v=\int{\left[ \begin{array}{l} \sinax \\  cosax \\  e^{ax}  \\ \end{array} \right]dx \\ \end{array} \right.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: